Resolver 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Resolver x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-20. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-5 b=8$$

Reescribe 2x^{2}+3x-20 como \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Factoriza x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Factoriza o termo común 2x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-5=0 e x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 3 e c por -20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Suma 9 a 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±13}{4} se ± é máis. Suma -3 a 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Reduce a fracción \frac{10}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±13}{4} se ± é menos. Resta 13 de -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divide -16 entre 4.

$$x=-4$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Se restas -20 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Resta -20 de 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Divide 20 entre 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Divide \frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Suma 10 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$