Resolver 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Resolver x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx+21. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

A solución é a parella que fornece a suma 17.

$$a=3 b=14$$

Reescribe 2x^{2}+17x+21 como \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Factoriza x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Factoriza o termo común 2x+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x+3=0 e x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 17 e c por 21 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Eleva 17 ao cadrado.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Suma 289 a -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±11}{4} se ± é máis. Suma -17 a 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-6}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±11}{4} se ± é menos. Resta 11 de -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Divide -28 entre 4.

$$x=-7$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Se restas 21 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Divide \frac{17}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{17}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{17}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Suma -\frac{21}{2} a \frac{289}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Resta \frac{17}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$