Resolver 2x=y+3,quady=3+x

$$2 x = y + 3 , \quad y = 3 + x$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=3,-x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+3$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3+y}{2} na outra ecuación, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=3$$

Multiplica -1 por \frac{3+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}+y=3$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=3$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{9}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por 9.

$$x=\frac{9+3}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=9$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=3,-x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+3\\3+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$2x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=3,-x+y=3$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-3,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Simplifica.

$$-2x+y=-3,-2x+2y=6$$

Resta -2x+2y=6 de -2x+y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+y-2y=-3-6$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-2y=-3-6$$

Suma y a -2y.

$$-y=-3-6$$

Suma -3 a -6.

$$-y=-9$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en -x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+9=3$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=9$$