Resolver 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$2x-2y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-2y=14$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=2y+14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 14+2y.

$$x=y+7$$

Substitúe x por y+7 na outra ecuación, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Multiplica 5 por y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Suma 5y a 3y.

$$8y+35=3$$

Resta 35 en ambos lados da ecuación.

$$8y=-32$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4+7$$

Suma 7 a -4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$2x-2y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$2x-2y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$3y+5x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Simplifica.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Resta 10x+6y=6 de 10x-10y=70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y-6y=70-6$$

Suma -10y a -6y.

$$-16y=70-6$$

Suma 70 a -6.

$$-16y=64$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 5x+3y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Multiplica 3 por -4.

$$5x-12=3$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$5x=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-4$$