Resolver 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Resolver r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2r^{2}+ar+br+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solución é a parella que fornece a suma 5.

$$a=1 b=4$$

Reescribe 2r^{2}+5r+2 como \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Factoriza r no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Factoriza o termo común 2r+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2r+1=0 e r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 5 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Suma 25 a -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-5±3}{4} se ± é máis. Suma -5 a 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-5±3}{4} se ± é menos. Resta 3 de -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Divide -8 entre 4.

$$r=-2$$

A ecuación está resolta.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Se restas 2 a si mesmo, quédache 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Divide -2 entre 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Divide \frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Suma -1 a \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Factoriza r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$