Resolver 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Resolver k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Engadir 7 en ambos lados.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2k^{2}+ak+bk+7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 14.

$$1,14 2,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+14=15 2+7=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 9.

$$a=2 b=7$$

Reescribe 2k^{2}+9k+7 como \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Factoriza 2k no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Factoriza o termo común k+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve k+1=0 e 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Se restas -7 a si mesmo, quédache 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Resta -7 de 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 9 e c por 7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Eleva 9 ao cadrado.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Suma 81 a -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-9±5}{4} se ± é máis. Suma -9 a 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Divide -4 entre 4.

$$k=-1$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-9±5}{4} se ± é menos. Resta 5 de -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-14}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Divide \frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{9}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Suma -\frac{7}{2} a \frac{81}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Factoriza k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplifica.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Resta \frac{9}{4} en ambos lados da ecuación.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$