Resolver 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-40. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -11.

$$a=-16 b=5$$

Reescribe 2x^{2}-11x-40 como \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Factoriza o termo común x-8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-8=0 e 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -11 e c por -40 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -11 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Suma 121 a 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

O contrario de -11 é 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{11±21}{4} se ± é máis. Suma 11 a 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divide 32 entre 4.

$$x=8$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{11±21}{4} se ± é menos. Resta 21 de 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Se restas -40 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Resta -40 de 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Divide 40 entre 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Divide -\frac{11}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Suma 20 a \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Suma \frac{11}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$