Resolver 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Resolver x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 30 en ambos lados.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Resta 30 de -6 para obter -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-36. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-8 b=9$$

Reescribe 2x^{2}+x-36 como \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Factoriza o termo común x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-4=0 e 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Se restas 30 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Resta 30 de -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 1 e c por -36 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Suma 1 a 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±17}{4} se ± é máis. Suma -1 a 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divide 16 entre 4.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±17}{4} se ± é menos. Resta 17 de -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Se restas -6 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Resta -6 de 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Divide 36 entre 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Divide \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Suma 18 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Resta \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$