Resolver 18x^2-39x+20=0

$$18 x ^ { 2 } - 39 x + 20 = 0$$

Resolver x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 18x^{2}+ax+bx+20. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-39 ab=18\times 20=360$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

A solución é a parella que fornece a suma -39.

$$a=-24 b=-15$$

Reescribe 18x^{2}-39x+20 como \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right)$$

Factoriza 6x no primeiro e -5 no grupo segundo.

$$6x\left(3x-4\right)-5\left(3x-4\right)$$

Factoriza o termo común 3x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-4=0 e 6x-5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 18, b por -39 e c por 20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Eleva -39 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Multiplica -4 por 18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-72\times 20}}{2\times 18}$$

Multiplica -72 por 20.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-1440}}{2\times 18}$$

Suma 1521 a -1440.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Obtén a raíz cadrada de 81.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±9}{2\times 18}$$

O contrario de -39 é 39.

$$x=\frac{39±9}{2\times 18}$$

Multiplica 2 por 18.

$$x=\frac{39±9}{36}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{39±9}{36} se ± é máis. Suma 39 a 9.

$$x=\frac{48}{36}$$

Reduce a fracción \frac{48}{36} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{39±9}{36} se ± é menos. Resta 9 de 39.

$$x=\frac{30}{36}$$

Reduce a fracción \frac{30}{36} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$18x^{2}-39x+20-20=-20$$

Se restas 20 a si mesmo, quédache 0.

$$18x^{2}-39x=-20$$

Divide ambos lados entre 18.

$$\frac{18x^{2}-39x}{18}=-\frac{20}{18}$$

A división entre 18 desfai a multiplicación por 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{18}\right)x=-\frac{20}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-39}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{20}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{10}{9}$$

Divide -\frac{13}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{13}{12}. Despois, suma o cadrado de -\frac{13}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{10}{9}+\frac{169}{144}$$

Suma -\frac{10}{9} a \frac{169}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{1}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{12}=-\frac{1}{4}$$

Suma \frac{13}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$