Resolver 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 18x^{2}+ax+bx-5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -9.

$$a=-15 b=6$$

Reescribe 18x^{2}-9x-5 como \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Factorizar 3x en 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Factoriza o termo común 6x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 6x-5=0 e 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 18, b por -9 e c por -5 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplica -4 por 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplica -72 por -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Suma 81 a 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Obtén a raíz cadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

O contrario de -9 é 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplica 2 por 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±21}{36} se ± é máis. Suma 9 a 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Reduce a fracción \frac{30}{36} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±21}{36} se ± é menos. Resta 21 de 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{36} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Se restas -5 a si mesmo, quédache 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Resta -5 de 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Divide ambos lados entre 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

A división entre 18 desfai a multiplicación por 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Reduce a fracción \frac{-9}{18} a termos máis baixos extraendo e cancelando 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Divide -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{5}{18} a \frac{1}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Suma \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$