Resolver 16x^2-24x+9=0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x + 9 = 0$$

Resolver x

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 16x^{2}+ax+bx+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=16\times 9=144$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-12 b=-12$$

Reescribe 16x^{2}-24x+9 como \left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$4x\left(4x-3\right)-3\left(4x-3\right)$$

Factoriza o termo común 4x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(4x-3\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 4x-3=0.

$$x=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 16, b por -24 e c por 9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Eleva -24 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 16}$$

Suma 576 a -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 16}$$

O contrario de -24 é 24.

$$x=\frac{24}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Reduce a fracción \frac{24}{32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$16x^{2}-24x+9-9=-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$16x^{2}-24x=-9$$

Divide ambos lados entre 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=-\frac{9}{16}$$

A división entre 16 desfai a multiplicación por 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Reduce a fracción \frac{-24}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Divide -\frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{-9+9}{16}$$

Suma -\frac{9}{16} a \frac{9}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0$$

Factoriza x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{4}=0 x-\frac{3}{4}=0$$

Suma \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{4} x=\frac{3}{4}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{3}{4}$$