Resolver 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 16x^{2}+ax+bx-9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=-8 b=18$$

Reescribe 16x^{2}+10x-9 como \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Factoriza 8x no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Factoriza o termo común 2x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-1=0 e 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 16, b por 10 e c por -9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Eleva 10 ao cadrado.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Suma 100 a 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Obtén a raíz cadrada de 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-10±26}{32} se ± é máis. Suma -10 a 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Reduce a fracción \frac{16}{32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-10±26}{32} se ± é menos. Resta 26 de -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Reduce a fracción \frac{-36}{32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Se restas -9 a si mesmo, quédache 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Resta -9 de 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Divide ambos lados entre 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

A división entre 16 desfai a multiplicación por 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Reduce a fracción \frac{10}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Divide \frac{5}{8}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{16}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{16} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{16} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Suma \frac{9}{16} a \frac{25}{256} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Factoriza x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Resta \frac{5}{16} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$