Resolver 16x^2-32x+12=0

$$16 { x }^{ 2 } -32x+12=0$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 4.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=4\times 3=12$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescribe 4x^{2}-8x+3 como \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-3=0 e 2x-1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$16x^{2}-32x+12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 16, b por -32 e c por 12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 16\times 12}}{2\times 16}$$

Eleva -32 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 16\times 12}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-64\times 12}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por 12.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-768}}{2\times 16}$$

Suma 1024 a -768.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Obtén a raíz cadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±16}{2\times 16}$$

O contrario de -32 é 32.

$$x=\frac{32±16}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{32±16}{32}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{32±16}{32} se ± é máis. Suma 32 a 16.

$$x=\frac{48}{32}$$

Reduce a fracción \frac{48}{32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{32±16}{32} se ± é menos. Resta 16 de 32.

$$x=\frac{16}{32}$$

Reduce a fracción \frac{16}{32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-32x+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$16x^{2}-32x+12-12=-12$$

Se restas 12 a si mesmo, quédache 0.

$$16x^{2}-32x=-12$$

Divide ambos lados entre 16.

$$\frac{16x^{2}-32x}{16}=-\frac{12}{16}$$

A división entre 16 desfai a multiplicación por 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{16}\right)x=-\frac{12}{16}$$

Divide -32 entre 16.

$$x^{2}-2x=-\frac{12}{16}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{4}$$

Divide -2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -1. Despois, suma o cadrado de -1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{4}+1$$

Suma -\frac{3}{4} a 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}$$

Factoriza x^{2}-2x+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$x-1=\frac{1}{2} x-1=-\frac{1}{2}$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$