Resolver 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 15x^{2}+ax+bx+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A solución é a parella que fornece a suma 11.

$$a=5 b=6$$

Reescribe 15x^{2}+11x+2 como \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Factoriza o termo común 3x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x+1=0 e 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 15, b por 11 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplica -4 por 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplica -60 por 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Suma 121 a -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Obtén a raíz cadrada de 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplica 2 por 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±1}{30} se ± é máis. Suma -11 a 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±1}{30} se ± é menos. Resta 1 de -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Se restas 2 a si mesmo, quédache 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Divide ambos lados entre 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

A división entre 15 desfai a multiplicación por 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divide \frac{11}{15}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{11}{30}. Despois, suma o cadrado de \frac{11}{30} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{30} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Suma -\frac{2}{15} a \frac{121}{900} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Factoriza x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Resta \frac{11}{30} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$