Resolver 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Factorizar

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 15p^{2}+ap+bp-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescribe 15p^{2}+7p-2 como \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Factoriza 3p no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Factoriza o termo común 5p-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplica -4 por 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplica -60 por -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Suma 49 a 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Multiplica 2 por 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-7±13}{30} se ± é máis. Suma -7 a 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Reduce a fracción \frac{6}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-7±13}{30} se ± é menos. Resta 13 de -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{1}{5} por x_{1} e -\frac{2}{3} por x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Resta \frac{1}{5} de p mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Suma \frac{2}{3} a p mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Multiplica \frac{5p-1}{5} por \frac{3p+2}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplica 5 por 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Descarta o máximo común divisor 15 en 15 e 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Calcular

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$