Resolver 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Resolver x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 15x^{2}+ax+bx-4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

A solución é a parella que fornece a suma 4.

$$a=-6 b=10$$

Reescribe 15x^{2}+4x-4 como \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Factoriza o termo común 5x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5x-2=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 15, b por 4 e c por -4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplica -4 por 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplica -60 por -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Suma 16 a 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Obtén a raíz cadrada de 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplica 2 por 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±16}{30} se ± é máis. Suma -4 a 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Reduce a fracción \frac{12}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±16}{30} se ± é menos. Resta 16 de -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{30} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Se restas -4 a si mesmo, quédache 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Resta -4 de 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Divide ambos lados entre 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

A división entre 15 desfai a multiplicación por 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divide \frac{4}{15}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{2}{15}. Despois, suma o cadrado de \frac{2}{15} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{15} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Suma \frac{4}{15} a \frac{4}{225} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Factoriza x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Resta \frac{2}{15} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$