Resolver 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 14x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -29.

$$a=-35 b=6$$

Reescribe 14x^{2}-29x-15 como \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factoriza 7x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factoriza o termo común 2x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-5=0 e 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 14, b por -29 e c por -15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Eleva -29 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplica -4 por 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplica -56 por -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Suma 841 a 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Obtén a raíz cadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

O contrario de -29 é 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Multiplica 2 por 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{29±41}{28} se ± é máis. Suma 29 a 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Reduce a fracción \frac{70}{28} a termos máis baixos extraendo e cancelando 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{29±41}{28} se ± é menos. Resta 41 de 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{28} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Se restas -15 a si mesmo, quédache 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Divide ambos lados entre 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

A división entre 14 desfai a multiplicación por 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Divide -\frac{29}{14}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{29}{28}. Despois, suma o cadrado de -\frac{29}{28} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{29}{28} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Suma \frac{15}{14} a \frac{841}{784} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Factoriza x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Suma \frac{29}{28} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$