Resolver 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-2300. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

A solución é a parella que fornece a suma 200.

$$a=-30 b=230$$

Reescribe 3x^{2}+200x-2300 como \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 230 no grupo segundo.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Factoriza o termo común x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-10=0 e 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 120, b por 8000 e c por -92000 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Eleva 8000 ao cadrado.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplica -4 por 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplica -480 por -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Suma 64000000 a 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Obtén a raíz cadrada de 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplica 2 por 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-8000±10400}{240} se ± é máis. Suma -8000 a 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Divide 2400 entre 240.

$$x=10$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-8000±10400}{240} se ± é menos. Resta 10400 de -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Reduce a fracción \frac{-18400}{240} a termos máis baixos extraendo e cancelando 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Suma 92000 en ambos lados da ecuación.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Se restas -92000 a si mesmo, quédache 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Resta -92000 de 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Divide ambos lados entre 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

A división entre 120 desfai a multiplicación por 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Reduce a fracción \frac{8000}{120} a termos máis baixos extraendo e cancelando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Reduce a fracción \frac{92000}{120} a termos máis baixos extraendo e cancelando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Divide \frac{200}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{100}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{100}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{100}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Suma \frac{2300}{3} a \frac{10000}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Factoriza x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Resta \frac{100}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$