Resolver 12y^2+19y+5

$$12 y ^ { 2 } + 19 y + 5$$

Factorizar

$$\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 12y^{2}+ay+by+5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=19 ab=12\times 5=60$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

A solución é a parella que fornece a suma 19.

$$a=4 b=15$$

Reescribe 12y^{2}+19y+5 como \left(12y^{2}+4y\right)+\left(15y+5\right).

$$\left(12y^{2}+4y\right)+\left(15y+5\right)$$

Factoriza 4y no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$4y\left(3y+1\right)+5\left(3y+1\right)$$

Factoriza o termo común 3y+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12y^{2}+19y+5=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Eleva 19 ao cadrado.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 5.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 12}$$

Suma 361 a -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$y=\frac{-19±11}{24}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-19±11}{24} se ± é máis. Suma -19 a 11.

$$y=-\frac{8}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-19±11}{24} se ± é menos. Resta 11 de -19.

$$y=-\frac{30}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$y=-\frac{5}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{1}{3} por x_{1} e -\frac{5}{4} por x_{2}.

$$12y^{2}+19y+5=12\left(y-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$12y^{2}+19y+5=12\left(y+\frac{1}{3}\right)\left(y+\frac{5}{4}\right)$$

Suma \frac{1}{3} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12y^{2}+19y+5=12\times \frac{3y+1}{3}\left(y+\frac{5}{4}\right)$$

Suma \frac{5}{4} a y mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12y^{2}+19y+5=12\times \frac{3y+1}{3}\times \frac{4y+5}{4}$$

Multiplica \frac{3y+1}{3} por \frac{4y+5}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12y^{2}+19y+5=12\times \frac{\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)}{3\times 4}$$

Multiplica 3 por 4.

$$12y^{2}+19y+5=12\times \frac{\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)}{12}$$

Descarta o máximo común divisor 12 en 12 e 12.

$$12y^{2}+19y+5=\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)$$

Calcular

$$\left(3y+1\right)\left(4y+5\right)$$