Resolver 12q^2+23q+10

$$12 q ^ { 2 } + 23 q + 10$$

Factorizar

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 12q^{2}+aq+bq+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

A solución é a parella que fornece a suma 23.

$$a=8 b=15$$

Reescribe 12q^{2}+23q+10 como \left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right).

$$\left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right)$$

Factoriza 4q no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$4q\left(3q+2\right)+5\left(3q+2\right)$$

Factoriza o termo común 3q+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12q^{2}+23q+10=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$q=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Eleva 23 ao cadrado.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 10.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Suma 529 a -480.

$$q=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$q=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$q=\frac{-23±7}{24}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{-23±7}{24} se ± é máis. Suma -23 a 7.

$$q=-\frac{16}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-16}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$q=-\frac{2}{3}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{-23±7}{24} se ± é menos. Resta 7 de -23.

$$q=-\frac{30}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$q=-\frac{5}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{2}{3} por x_{1} e -\frac{5}{4} por x_{2}.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Suma \frac{2}{3} a q mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Suma \frac{5}{4} a q mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\times \frac{4q+5}{4}$$

Multiplica \frac{3q+2}{3} por \frac{4q+5}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{3\times 4}$$

Multiplica 3 por 4.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{12}$$

Descarta o máximo común divisor 12 en 12 e 12.

$$12q^{2}+23q+10=\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Calcular

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$