Resolver 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Resolver n

$$n=6$$

$$n=15$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Engadir 9n en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Resta 12 en ambos lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Resta 12 de -78 para obter -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -n^{2}+an+bn-90. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

A solución é a parella que fornece a suma 21.

$$a=15 b=6$$

Reescribe -n^{2}+21n-90 como \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Factoriza -n no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Factoriza o termo común n-15 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-15=0 e -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Engadir 9n en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Resta 12 en ambos lados.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Resta 12 de -78 para obter -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 21 e c por -90 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 21 ao cadrado.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 441 a -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-21±9}{-2} se ± é máis. Suma -21 a 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Divide -12 entre -2.

$$n=6$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-21±9}{-2} se ± é menos. Resta 9 de -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Divide -30 entre -2.

$$n=15$$

A ecuación está resolta.

$$n=6 n=15$$

Pasos para completar o cadrado

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 12 por n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Resta 30 de -48 para obter -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Resta n^{2} en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Engadir 9n en ambos lados.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n para obter 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Engadir 78 en ambos lados.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Suma 12 e 78 para obter 90.

$$21n-n^{2}=90$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Divide 21 entre -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Divide 90 entre -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Divide -21, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{21}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{21}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{21}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Suma -90 a \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Factoriza n^{2}-21n+\frac{441}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Suma \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$n=15 n=6$$