Resolver 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Factorizar

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 12z^{2}+az+bz-12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-16 b=9$$

Reescribe 12z^{2}-7z-12 como \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Factoriza 4z no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Factoriza o termo común 3z-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Suma 49 a 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

O contrario de -7 é 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{7±25}{24} se ± é máis. Suma 7 a 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Reduce a fracción \frac{32}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{7±25}{24} se ± é menos. Resta 25 de 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{4}{3} por x_{1} e -\frac{3}{4} por x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Resta \frac{4}{3} de z mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Suma \frac{3}{4} a z mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Multiplica \frac{3z-4}{3} por \frac{4z+3}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Multiplica 3 por 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Descarta o máximo común divisor 12 en 12 e 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Calcular

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$