Resolver 12x^2-7x+1

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

Factorizar

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 12x^{2}+ax+bx+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-4 b=-3$$

Reescribe 12x^{2}-7x+1 como \left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Factoriza o termo común 3x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

Suma 49 a -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

O contrario de -7 é 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±1}{24} se ± é máis. Suma 7 a 1.

$$x=\frac{8}{24}$$

Reduce a fracción \frac{8}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±1}{24} se ± é menos. Resta 1 de 7.

$$x=\frac{6}{24}$$

Reduce a fracción \frac{6}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{1}{3} por x_{1} e \frac{1}{4} por x_{2}.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Resta \frac{1}{3} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Resta \frac{1}{4} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

Multiplica \frac{3x-1}{3} por \frac{4x-1}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

Multiplica 3 por 4.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

Descarta o máximo común divisor 12 en 12 e 12.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Calcular

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$