Resolver 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Resolver x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6.424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2.075335275$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 12, b por -102 e c por 160 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Eleva -102 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Suma 10404 a -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

O contrario de -102 é 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} se ± é máis. Suma 102 a 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Divide 102+2\sqrt{681} entre 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} se ± é menos. Resta 2\sqrt{681} de 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Divide 102-2\sqrt{681} entre 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Resta 160 en ambos lados da ecuación.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Se restas 160 a si mesmo, quédache 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Divide ambos lados entre 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

A división entre 12 desfai a multiplicación por 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-102}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-160}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Divide -\frac{17}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{17}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{17}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Suma -\frac{40}{3} a \frac{289}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Factoriza x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Suma \frac{17}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$