Resolver 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 12x^{2}+ax+bx+3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A solución é a parella que fornece a suma 13.

$$a=4 b=9$$

Reescribe 12x^{2}+13x+3 como \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Factoriza o termo común 3x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x+1=0 e 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 12, b por 13 e c por 3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Eleva 13 ao cadrado.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Suma 169 a -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±5}{24} se ± é máis. Suma -13 a 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±5}{24} se ± é menos. Resta 5 de -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Se restas 3 a si mesmo, quédache 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Divide ambos lados entre 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

A división entre 12 desfai a multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-3}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Divide \frac{13}{12}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{13}{24}. Despois, suma o cadrado de \frac{13}{24} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{24} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{169}{576} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Factoriza x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Resta \frac{13}{24} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$