Resolver 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Resolver y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 3y^{2} en ambos lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -3y^{2}+ay+by+4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 11.

$$a=12 b=-1$$

Reescribe -3y^{2}+11y+4 como \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Factorizar 3y en -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Factoriza o termo común -y+4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -y+4=0 e 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Resta 3y^{2} en ambos lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -3, b por 11 e c por 4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 121 a 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-11±13}{-6} se ± é máis. Suma -11 a 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Reduce a fracción \frac{2}{-6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-11±13}{-6} se ± é menos. Resta 13 de -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Divide -24 entre -6.

$$y=4$$

A ecuación está resolta.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Pasos para completar o cadrado

Resta 3y^{2} en ambos lados.

$$11y-3y^{2}=-4$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Divide ambos lados entre -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

A división entre -3 desfai a multiplicación por -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divide 11 entre -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divide -4 entre -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Divide -\frac{11}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Suma \frac{4}{3} a \frac{121}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriza y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Suma \frac{11}{6} en ambos lados da ecuación.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$