Resolver 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Resolver x

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 1000x^{2}+ax+bx-561. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -561000.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -590.

$$a=-1100 b=510$$

Reescribe 1000x^{2}-590x-561 como \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Factoriza 100x no primeiro e 51 no grupo segundo.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Factoriza o termo común 10x-11 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 10x-11=0 e 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1000, b por -590 e c por -561 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Eleva -590 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplica -4 por 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplica -4000 por -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Suma 348100 a 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Obtén a raíz cadrada de 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

O contrario de -590 é 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Multiplica 2 por 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{590±1610}{2000} se ± é máis. Suma 590 a 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Reduce a fracción \frac{2200}{2000} a termos máis baixos extraendo e cancelando 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{590±1610}{2000} se ± é menos. Resta 1610 de 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Reduce a fracción \frac{-1020}{2000} a termos máis baixos extraendo e cancelando 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Suma 561 en ambos lados da ecuación.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Se restas -561 a si mesmo, quédache 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Resta -561 de 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Divide ambos lados entre 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

A división entre 1000 desfai a multiplicación por 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Reduce a fracción \frac{-590}{1000} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Divide -\frac{59}{100}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{59}{200}. Despois, suma o cadrado de -\frac{59}{200} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{59}{200} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Suma \frac{561}{1000} a \frac{3481}{40000} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Factoriza x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Suma \frac{59}{200} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$