Resolver 100y^2-60y+9=1

$$100 y ^ { 2 } - 60 y + 9 = 1$$

Resolver y

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 1 en ambos lados.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Resta 1 de 9 para obter 8.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$25y^{2}-15y+2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 25y^{2}+ay+by+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-15 ab=25\times 2=50$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 50.

$$-1,-50 -2,-25 -5,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-50=-51 -2-25=-27 -5-10=-15$$

A solución é a parella que fornece a suma -15.

$$a=-10 b=-5$$

Reescribe 25y^{2}-15y+2 como \left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right).

$$\left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right)$$

Factoriza 5y no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$5y\left(5y-2\right)-\left(5y-2\right)$$

Factoriza o termo común 5y-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5y-2\right)\left(5y-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5y-2=0 e 5y-1=0.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$100y^{2}-60y+9-1=1-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Resta 1 de 9.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 100, b por -60 e c por 8 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Eleva -60 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Multiplica -4 por 100.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-400\times 8}}{2\times 100}$$

Multiplica -400 por 8.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 100}$$

Suma 3600 a -3200.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 100}$$

Obtén a raíz cadrada de 400.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 100}$$

O contrario de -60 é 60.

$$y=\frac{60±20}{2\times 100}$$

Multiplica 2 por 100.

$$y=\frac{60±20}{200}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{60±20}{200} se ± é máis. Suma 60 a 20.

$$y=\frac{80}{200}$$

Reduce a fracción \frac{80}{200} a termos máis baixos extraendo e cancelando 40.

$$y=\frac{2}{5}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{60±20}{200} se ± é menos. Resta 20 de 60.

$$y=\frac{40}{200}$$

Reduce a fracción \frac{40}{200} a termos máis baixos extraendo e cancelando 40.

$$y=\frac{1}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$100y^{2}-60y+9-9=1-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$100y^{2}-60y=1-9$$

Resta 9 de 1.

$$100y^{2}-60y=-8$$

Divide ambos lados entre 100.

$$\frac{100y^{2}-60y}{100}=-\frac{8}{100}$$

A división entre 100 desfai a multiplicación por 100.

$$y^{2}+\left(-\frac{60}{100}\right)y=-\frac{8}{100}$$

Reduce a fracción \frac{-60}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 20.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{8}{100}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{2}{25}$$

Divide -\frac{3}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{10}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{10} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{10} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=-\frac{2}{25}+\frac{9}{100}$$

Suma -\frac{2}{25} a \frac{9}{100} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{1}{100}$$

Factoriza y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{1}{100}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{100}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{1}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{1}{10}$$

Suma \frac{3}{10} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$