Resolver 10y^2-31y+15

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Factorizar

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 10y^{2}+ay+by+15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

A solución é a parella que fornece a suma -31.

$$a=-25 b=-6$$

Reescribe 10y^{2}-31y+15 como \left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right).

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Factoriza 5y no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Factoriza o termo común 2y-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Eleva -31 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplica -4 por 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplica -40 por 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Suma 961 a -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

O contrario de -31 é 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Multiplica 2 por 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{31±19}{20} se ± é máis. Suma 31 a 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Reduce a fracción \frac{50}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{31±19}{20} se ± é menos. Resta 19 de 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Reduce a fracción \frac{12}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{5}{2} por x_{1} e \frac{3}{5} por x_{2}.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{5}{2} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{5} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Multiplica \frac{2y-5}{2} por \frac{5y-3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Descarta o máximo común divisor 10 en 10 e 10.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Calcular

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$