Resolver 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Resolver k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 10k^{2}+ak+bk-1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 9.

$$a=-1 b=10$$

Reescribe 10k^{2}+9k-1 como \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Factorizar k en 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Factoriza o termo común 10k-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 10k-1=0 e k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 10, b por 9 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Eleva 9 ao cadrado.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplica -4 por 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplica -40 por -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Suma 81 a 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplica 2 por 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-9±11}{20} se ± é máis. Suma -9 a 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Reduce a fracción \frac{2}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Agora resolve a ecuación k=\frac{-9±11}{20} se ± é menos. Resta 11 de -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Divide -20 entre 20.

$$k=-1$$

A ecuación está resolta.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Se restas -1 a si mesmo, quédache 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Resta -1 de 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Divide ambos lados entre 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

A división entre 10 desfai a multiplicación por 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Divide \frac{9}{10}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{9}{20}. Despois, suma o cadrado de \frac{9}{20} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{20} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Suma \frac{1}{10} a \frac{81}{400} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Factoriza k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Simplifica.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Resta \frac{9}{20} en ambos lados da ecuación.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$