Resolver 10=5t+5t^2

$$10 = 5 t + 5 t ^ { 2 }$$

Resolver t

$$t=-2$$

$$t=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$5t+5t^{2}=10$$

Resta 10 en ambos lados.

$$5t+5t^{2}-10=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$t+t^{2}-2=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$t^{2}+t-2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-1 b=2$$

Reescribe t^{2}+t-2 como \left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right).

$$\left(t^{2}-t\right)+\left(2t-2\right)$$

Factoriza t no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$t\left(t-1\right)+2\left(t-1\right)$$

Factoriza o termo común t-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-1=0 e t+2=0.

$$t=1 t=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$5t+5t^{2}=10$$

Resta 10 en ambos lados.

$$5t+5t^{2}-10=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5t^{2}+5t-10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por 5 e c por -10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -10.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+200}}{2\times 5}$$

Suma 25 a 200.

$$t=\frac{-5±\sqrt{225}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 225.

$$t=\frac{-5±15}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$t=\frac{-5±15}{10}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-5±15}{10} se ± é máis. Suma -5 a 15.

$$t=\frac{10}{10}$$

Divide 10 entre 10.

$$t=1$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-5±15}{10} se ± é menos. Resta 15 de -5.

$$t=-\frac{20}{10}$$

Divide -20 entre 10.

$$t=-2$$

A ecuación está resolta.

$$t=1 t=-2$$

Pasos para completar o cadrado

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$5t+5t^{2}=10$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}+5t=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5t^{2}+5t}{5}=\frac{10}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$t^{2}+\frac{5}{5}t=\frac{10}{5}$$

Divide 5 entre 5.

$$t^{2}+t=\frac{10}{5}$$

Divide 10 entre 5.

$$t^{2}+t=2$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+t+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Suma 2 a \frac{1}{4}.

$$t^{2}+t+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza t^{2}+t+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=1 t=-2$$