Resolver 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Resolver t

$$t=1$$

$$t=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Divide ambos lados entre 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -t^{2}+at+bt-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=2 b=1$$

Reescribe -t^{2}+3t-2 como \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Factorizar -t en -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Factoriza o termo común t-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-2=0 e -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -16, b por 48 e c por -32 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 48 ao cadrado.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 2304 a -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-48±16}{-32} se ± é máis. Suma -48 a 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divide -32 entre -32.

$$t=1$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-48±16}{-32} se ± é menos. Resta 16 de -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Divide -64 entre -32.

$$t=2$$

A ecuación está resolta.

$$t=1 t=2$$

Pasos para completar o cadrado

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Engadir 32 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Divide ambos lados entre -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

A división entre -16 desfai a multiplicación por -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Divide 48 entre -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Divide 32 entre -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Divide -3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Suma -2 a \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factoriza t^{2}-3t+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=2 t=1$$