Resolver -4x^2-28x+49geq0

$$-4 { x }^{ 2 } -28x+49 \geq 0$$

Resolver para x

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Multiplica a desigualdade por -1 para converter o coeficiente da potencia maior en -4x^{2}-28x+49 positivo. Dado que -1 é negativo, a dirección da diferenza cambiou.

$$4x^{2}+28x-49\leq 0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+28x-49=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 4 por a, 28 por b e -49 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{-28±28\sqrt{2}}{8}$$

Resolve a ecuación x=\frac{-28±28\sqrt{2}}{8} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{7\sqrt{2}-7}{2} x=\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$4\left(x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\right)\left(x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\right)\leq 0$$

Para que o produto sexa ≤0, un dos valores x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2} e x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2} ten que ser ≥0 e o outro ten que ser ≤0. Considera o caso cando x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 e x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0.

$$x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0 e x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0.

$$x-\frac{-7\sqrt{2}-7}{2}\geq 0 x-\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\leq 0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left[\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{-7\sqrt{2}-7}{2},\frac{7\sqrt{2}-7}{2}\end{bmatrix}$$