Resolver -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -4, b por 20 e c por -47 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 20 ao cadrado.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica -4 por -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 16 por -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Suma 400 a -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 por -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} se ± é máis. Suma -20 a 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Divide -20+4i\sqrt{22} entre -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} se ± é menos. Resta 4i\sqrt{22} de -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Divide -20-4i\sqrt{22} entre -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Suma 47 en ambos lados da ecuación.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Se restas -47 a si mesmo, quédache 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Resta -47 de 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Divide ambos lados entre -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

A división entre -4 desfai a multiplicación por -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Divide 20 entre -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Divide 47 entre -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Divide -5, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Suma -\frac{47}{4} a \frac{25}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Factoriza x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$