Resolver -x^2+14x-40=0

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 40 = 0$$

Resolver x

$$x=4$$

$$x=10$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-40. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=14 ab=-\left(-40\right)=40$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

A solución é a parella que fornece a suma 14.

$$a=10 b=4$$

Reescribe -x^{2}+14x-40 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$-x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

Factoriza o termo común x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-10=0 e -x+4=0.

$$x=10 x=4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 14 e c por -40 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 14 ao cadrado.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -40.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 196 a -160.

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 36.

$$x=\frac{-14±6}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-14±6}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±6}{-2} se ± é máis. Suma -14 a 6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Divide -8 entre -2.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±6}{-2} se ± é menos. Resta 6 de -14.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divide -20 entre -2.

$$x=10$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=10$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$-x^{2}+14x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Se restas -40 a si mesmo, quédache 0.

$$-x^{2}+14x=-\left(-40\right)$$

Resta -40 de 0.

$$-x^{2}+14x=40$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{40}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{40}{-1}$$

Divide 14 entre -1.

$$x^{2}-14x=\frac{40}{-1}$$

Divide 40 entre -1.

$$x^{2}-14x=-40$$

Divide -14, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -7. Despois, suma o cadrado de -7 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Suma -40 a 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Factoriza x^{2}-14x+49. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifica.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$x=10 x=4$$