Resolver -3x-3y=3text{and}y=-5x-17

$$- 3 x - 3 y = 3 \text { and } y = - 5 x - 17$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=-17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x-3y=3$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=3y+3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(3y+3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 3+3y.

$$x=-y-1$$

Substitúe x por -y-1 na outra ecuación, 5x+y=-17.

$$5\left(-y-1\right)+y=-17$$

Multiplica 5 por -y-1.

$$-5y-5+y=-17$$

Suma -5y a y.

$$-4y-5=-17$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3-1$$

Suma -1 a -3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=-17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{3}{-3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 3+\frac{1}{4}\left(-17\right)\\-\frac{5}{12}\times 3-\frac{1}{4}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=-17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x-3y=3,5x+y=-17$$

Para que -3x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$5\left(-3\right)x+5\left(-3\right)y=5\times 3,-3\times 5x-3y=-3\left(-17\right)$$

Simplifica.

$$-15x-15y=15,-15x-3y=51$$

Resta -15x-3y=51 de -15x-15y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x-15y+3y=15-51$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y+3y=15-51$$

Suma -15y a 3y.

$$-12y=15-51$$

Suma 15 a -51.

$$-12y=-36$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 5x+y=-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3=-17$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$