Resolver -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Resolver x

$$x=4$$

$$x=13$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-52. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

A solución é a parella que fornece a suma 17.

$$a=13 b=4$$

Reescribe -x^{2}+17x-52 como \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Factoriza o termo común x-13 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-13=0 e -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -3, b por 51 e c por -156 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 51 ao cadrado.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 2601 a -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-51±27}{-6} se ± é máis. Suma -51 a 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Divide -24 entre -6.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-51±27}{-6} se ± é menos. Resta 27 de -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Divide -78 entre -6.

$$x=13$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=13$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Suma 156 en ambos lados da ecuación.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Se restas -156 a si mesmo, quédache 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Resta -156 de 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Divide ambos lados entre -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

A división entre -3 desfai a multiplicación por -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Divide 51 entre -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Divide 156 entre -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Divide -17, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{17}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{17}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Suma -52 a \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Factoriza x^{2}-17x+\frac{289}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Suma \frac{17}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=13 x=4$$