Resolver -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Resolver x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -2x^{2}+ax+bx+24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 13.

$$a=16 b=-3$$

Reescribe -2x^{2}+13x+24 como \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Factoriza o termo común -x+8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+8=0 e 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -2, b por 13 e c por 24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 13 ao cadrado.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 8 por 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Suma 169 a 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Multiplica 2 por -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±19}{-4} se ± é máis. Suma -13 a 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Reduce a fracción \frac{6}{-4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-13±19}{-4} se ± é menos. Resta 19 de -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Divide -32 entre -4.

$$x=8$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Se restas 24 a si mesmo, quédache 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Divide ambos lados entre -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

A división entre -2 desfai a multiplicación por -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Divide 13 entre -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Divide -24 entre -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Divide -\frac{13}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{13}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{13}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Suma 12 a \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Suma \frac{13}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$