Resolver -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Multiplica a desigualdade por -1 para converter o coeficiente da potencia maior en -2x^{2}+12x-14 positivo. Dado que -1 é <0, a dirección da diferenza cambiou.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 2 por a, -12 por b e 14 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Resolve a ecuación x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, x-\left(\sqrt{2}+3\right) e x-\left(3-\sqrt{2}\right) teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando x-\left(\sqrt{2}+3\right) é positivo e x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativo.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x-\left(3-\sqrt{2}\right) é positivo e x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativo.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$