Resolver -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Factorizar

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Pasos da solución

Factoriza 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Considera -4t^{2}+24t-27. Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como -4t^{2}+at+bt-27. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

A solución é a parella que fornece a suma 24.

$$a=18 b=6$$

Reescribe -4t^{2}+24t-27 como \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Factoriza -2t no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Factoriza o termo común 2t-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Reescribe a expresión factorizada completa.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 96 ao cadrado.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 9216 a -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-96±48}{-32} se ± é máis. Suma -96 a 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Reduce a fracción \frac{-48}{-32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-96±48}{-32} se ± é menos. Resta 48 de -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Reduce a fracción \frac{-144}{-32} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{2} por x_{1} e \frac{9}{2} por x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de t mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Resta \frac{9}{2} de t mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Multiplica \frac{-2t+3}{-2} por \frac{-2t+9}{-2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplica -2 por -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Descarta o máximo común divisor 4 en -16 e 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Calcular

$$-16t^{2}+96t-108$$