Resolver -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Resolver t

$$t=1$$

$$t=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 128 en ambos lados.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Resta 128 de 80 para obter -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Divide ambos lados entre 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -t^{2}+at+bt-3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=3 b=1$$

Reescribe -t^{2}+4t-3 como \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Factorizar -t en -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Factoriza o termo común t-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-3=0 e -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Resta 128 en ambos lados da ecuación.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Se restas 128 a si mesmo, quédache 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Resta 128 de 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -16, b por 64 e c por -48 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 64 ao cadrado.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 4096 a -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-64±32}{-32} se ± é máis. Suma -64 a 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divide -32 entre -32.

$$t=1$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-64±32}{-32} se ± é menos. Resta 32 de -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Divide -96 entre -32.

$$t=3$$

A ecuación está resolta.

$$t=1 t=3$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Resta 80 en ambos lados da ecuación.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Se restas 80 a si mesmo, quédache 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Resta 80 de 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Divide ambos lados entre -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

A división entre -16 desfai a multiplicación por -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Divide 64 entre -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Divide 48 entre -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Divide -4, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -2. Despois, suma o cadrado de -2 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Suma -3 a 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Factoriza t^{2}-4t+4. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifica.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$t=3 t=1$$