Resolver -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -\frac{1}{3} por x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} por x-\frac{1}{3} e combina os termos semellantes.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Multiplica a desigualdade por -1 para converter o coeficiente da potencia maior en -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positivo. Dado que -1 é negativo, a dirección da diferenza cambiou.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe \frac{1}{3} por a, \frac{5}{9} por b e -\frac{2}{9} por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Resolve a ecuación x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, x-\frac{1}{3} e x+2 teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando x-\frac{1}{3} é positivo e x+2 negativo.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x+2 é positivo e x-\frac{1}{3} negativo.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$