Resolver (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Resolver x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Suma 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Resta 16 en ambos lados.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Resta 16 de 5 para obter -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx-11. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -55.

$$-1,55 -5,11$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

A solución é a parella que fornece a suma 6.

$$a=-5 b=11$$

Reescribe 5x^{2}+6x-11 como \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 11 no grupo segundo.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Suma 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Resta 16 en ambos lados.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Resta 16 de 5 para obter -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por 6 e c por -11 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 6 ao cadrado.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Suma 36 a 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-6±16}{10} se ± é máis. Suma -6 a 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divide 10 entre 10.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-6±16}{10} se ± é menos. Resta 16 de -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-22}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} para obter 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x para obter 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Suma 1 e 4 para obter 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Resta 5 en ambos lados.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Resta 5 de 16 para obter 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Divide \frac{6}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{5}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{5} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Suma \frac{11}{5} a \frac{9}{25} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Factoriza x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Resta \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$