Resolver (m-1)^2+3(m-5)^2=16

$$( m - 1 ) ^ { 2 } + 3 ( m - 5 ) ^ { 2 } = 16$$

Resolver m

$$m=3$$

$$m=5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

Combina m^{2} e 3m^{2} para obter 4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

Combina -2m e -30m para obter -32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

Suma 1 e 75 para obter 76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

Resta 16 en ambos lados.

$$4m^{2}-32m+76-16=0$$

Resta 16 de 76 para obter 60.

$$4m^{2}-32m+60=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$m^{2}-8m+15=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como m^{2}+am+bm+15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=-5 b=-3$$

Reescribe m^{2}-8m+15 como \left(m^{2}-5m\right)+\left(-3m+15\right).

$$\left(m^{2}-5m\right)+\left(-3m+15\right)$$

Factoriza m no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$m\left(m-5\right)-3\left(m-5\right)$$

Factoriza o termo común m-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(m-5\right)\left(m-3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve m-5=0 e m-3=0.

$$m=5 m=3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

Combina m^{2} e 3m^{2} para obter 4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

Combina -2m e -30m para obter -32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

Suma 1 e 75 para obter 76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

Resta 16 en ambos lados.

$$4m^{2}-32m+76-16=0$$

Resta 16 de 76 para obter 60.

$$4m^{2}-32m+60=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -32 e c por 60 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Eleva -32 ao cadrado.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 60}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 60.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-960}}{2\times 4}$$

Suma 1024 a -960.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 64.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±8}{2\times 4}$$

O contrario de -32 é 32.

$$m=\frac{32±8}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$m=\frac{32±8}{8}$$

Agora resolve a ecuación m=\frac{32±8}{8} se ± é máis. Suma 32 a 8.

$$m=\frac{40}{8}$$

Divide 40 entre 8.

$$m=5$$

Agora resolve a ecuación m=\frac{32±8}{8} se ± é menos. Resta 8 de 32.

$$m=\frac{24}{8}$$

Divide 24 entre 8.

$$m=3$$

A ecuación está resolta.

$$m=5 m=3$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

Combina m^{2} e 3m^{2} para obter 4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

Combina -2m e -30m para obter -32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

Suma 1 e 75 para obter 76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

Resta 76 en ambos lados.

$$4m^{2}-32m=16-76$$

Resta 76 de 16 para obter -60.

$$4m^{2}-32m=-60$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4m^{2}-32m}{4}=-\frac{60}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$m^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)m=-\frac{60}{4}$$

Divide -32 entre 4.

$$m^{2}-8m=-\frac{60}{4}$$

Divide -60 entre 4.

$$m^{2}-8m=-15$$

Divide -8, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -4. Despois, suma o cadrado de -4 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$m^{2}-8m+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$m^{2}-8m+16=-15+16$$

Suma -15 a 16.

$$m^{2}-8m+16=1$$

Factoriza m^{2}-8m+16. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-4\right)^{2}=1$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(m-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifica.

$$m-4=1 m-4=-1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$m=5 m=3$$