Resolver (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Suma 81 e 162 para obter 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combina -90x e -180x para obter -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combina 25x^{2} e 50x^{2} para obter 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Resta 24 de 243 para obter 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 75 por a, -270 por b e 219 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Resolve a ecuación x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} é positivo e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} negativo.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} é positivo e x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} negativo.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$