Resolver (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Resolver x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 ao cadrado.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcula o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta 47 en ambos lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resta 47 de 5 para obter -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resta x en ambos lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Divide ambos lados entre 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescribe x^{2}-x-2 como \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Factorizar x en x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Factoriza o termo común x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-2=0 e x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 ao cadrado.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcula o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta 47 en ambos lados.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Resta 47 de 5 para obter -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Resta x en ambos lados.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 21, b por -21 e c por -42 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Eleva -21 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -4 por 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -84 por -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Suma 441 a 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Obtén a raíz cadrada de 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

O contrario de -21 é 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplica 2 por 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{21±63}{42} se ± é máis. Suma 21 a 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Divide 84 entre 42.

$$x=2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{21±63}{42} se ± é menos. Resta 63 de 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Divide -42 entre 42.

$$x=-1$$

A ecuación está resolta.

$$x=2 x=-1$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 ao cadrado.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Expande \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Para calcular o oposto de 4x^{2}-1, calcula o oposto de cada termo.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} para obter 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Resta x en ambos lados.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combina -20x e -x para obter -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Resta 5 en ambos lados.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Resta 5 de 47 para obter 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Divide ambos lados entre 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

A división entre 21 desfai a multiplicación por 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Divide -21 entre 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Divide 42 entre 21.

$$x^{2}-x=2$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Suma 2 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza x^{2}-x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=-1$$