Resolver (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Resolver x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Descarta o máximo común divisor 2 en 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a unha potencia, eleva o numerador e o denominador á potencia e despois divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dado que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como unha única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 624 en ambos lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resta 624 de 192 para obter -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-108. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 12.

$$a=-6 b=18$$

Reescribe x^{2}+12x-108 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Factoriza x no primeiro e 18 no grupo segundo.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Factoriza o termo común x-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Descarta o máximo común divisor 2 en 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a unha potencia, eleva o numerador e o denominador á potencia e despois divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dado que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como unha única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 624 en ambos lados.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Resta 624 de 192 para obter -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 48 e c por -432 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 48 ao cadrado.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Suma 2304 a 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-48±96}{8} se ± é máis. Suma -48 a 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Divide 48 entre 8.

$$x=6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-48±96}{8} se ± é menos. Resta 96 de -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Divide -144 entre 8.

$$x=-18$$

A ecuación está resolta.

$$x=6 x=-18$$

Pasos para completar o cadrado

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Descarta o máximo común divisor 2 en 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Para elevar \frac{x\sqrt{3}}{2} a unha potencia, eleva o numerador e o denominador á potencia e despois divide.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 48 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Dado que \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplica 48 e 4 para obter 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expande \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Expresa 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} como unha única fracción.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Anula 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

O cadrado de \sqrt{3} é 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplica 16 e 3 para obter 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Resta 192 en ambos lados.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Resta 192 de 624 para obter 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Divide 48 entre 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Divide 432 entre 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Divide 12, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 6. Despois, suma o cadrado de 6 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Eleva 6 ao cadrado.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Suma 108 a 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Factoriza x^{2}+12x+36. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Simplifica.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=6 x=-18$$