Resolver (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Factorizar

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Pasos da solución

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como -10x^{2}+ax+bx+22. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 51.

$$a=55 b=-4$$

Reescribe -10x^{2}+51x+22 como \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Factoriza -5x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Factoriza o termo común 2x-11 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Eleva 51 ao cadrado.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica -4 por -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica 40 por 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Suma 2601 a 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica 2 por -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-51±59}{-20} se ± é máis. Suma -51 a 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Reduce a fracción \frac{8}{-20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-51±59}{-20} se ± é menos. Resta 59 de -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Reduce a fracción \frac{-110}{-20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{2}{5} por x_{1} e \frac{11}{2} por x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Suma \frac{2}{5} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Resta \frac{11}{2} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplica \frac{-5x-2}{-5} por \frac{-2x+11}{-2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplica -5 por -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Descarta o máximo común divisor 10 en -10 e 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Calcular

$$22+51x-10x^{2}$$