Resolver (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcula o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combina -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resta 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Suma -16 e 23 para obter 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

A solución é a parella que fornece a suma -22.

$$a=-21 b=-1$$

Reescribe 3x^{2}-22x+7 como \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Factoriza o termo común x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-7=0 e 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcula o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combina -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resta 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Suma -16 e 23 para obter 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -22 e c por 7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Eleva -22 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Suma 484 a -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

O contrario de -22 é 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{22±20}{6} se ± é máis. Suma 22 a 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Divide 42 entre 6.

$$x=7$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{22±20}{6} se ± é menos. Resta 20 de 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduce a fracción \frac{2}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}+10x+25, calcula o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Combina -12x e -10x para obter -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Resta 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Engadir 16 en ambos lados.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Suma -23 e 16 para obter -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divide -\frac{22}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Suma -\frac{7}{3} a \frac{121}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Factoriza x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Suma \frac{11}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$