Resolver (2x+1)^2+(2x+3)^2=34

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 34$$

Resolver x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Combina 4x^{2} e 4x^{2} para obter 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Combina 4x e 12x para obter 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Suma 1 e 9 para obter 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Resta 34 en ambos lados.

$$8x^{2}+16x+10-34=0$$

Resta 34 de 10 para obter -24.

$$8x^{2}+16x-24=0$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x^{2}+2x-3=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-1 b=3$$

Reescribe x^{2}+2x-3 como \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Factoriza x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Combina 4x^{2} e 4x^{2} para obter 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Combina 4x e 12x para obter 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Suma 1 e 9 para obter 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Resta 34 en ambos lados.

$$8x^{2}+16x+10-34=0$$

Resta 34 de 10 para obter -24.

$$8x^{2}+16x-24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 8, b por 16 e c por -24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 16 ao cadrado.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por -24.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+768}}{2\times 8}$$

Suma 256 a 768.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1024}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 1024.

$$x=\frac{-16±32}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{-16±32}{16}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±32}{16} se ± é máis. Suma -16 a 32.

$$x=\frac{16}{16}$$

Divide 16 entre 16.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±32}{16} se ± é menos. Resta 32 de -16.

$$x=-\frac{48}{16}$$

Divide -48 entre 16.

$$x=-3$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=-3$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Combina 4x^{2} e 4x^{2} para obter 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Combina 4x e 12x para obter 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Suma 1 e 9 para obter 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Resta 10 en ambos lados.

$$8x^{2}+16x=34-10$$

Resta 10 de 34 para obter 24.

$$8x^{2}+16x=24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$\frac{8x^{2}+16x}{8}=\frac{24}{8}$$

A división entre 8 desfai a multiplicación por 8.

$$x^{2}+\frac{16}{8}x=\frac{24}{8}$$

Divide 16 entre 8.

$$x^{2}+2x=\frac{24}{8}$$

Divide 24 entre 8.

$$x^{2}+2x=3$$

Divide 2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 1. Despois, suma o cadrado de 1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=3+1^{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x^{2}+2x+1=3+1$$

Suma 3 a 1.

$$x^{2}+2x+1=4$$

Factoriza x^{2}+2x+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=4$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifica.

$$x+1=2 x+1=-2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=-3$$